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比特币 Bitcoin 使用了 secp256k1 这条特殊的椭圆曲线。其数学基础建立在阿贝尔群之上：

一、阿贝尔群

• 封闭性：如果 a 和 b 都是群成员，那么 a+b 也是群成员；
• 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)；
• 单位元：a+0 = 0+a = a，0 即单位元；
• 逆元：对于任意值 a 必定存在 b，使得 a+b = 0。

二、椭圆曲线的加法

上述方法无法解释 A + A 这种两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在 A 点的切线与椭圆曲线的交点，取该交点关于 x 轴对称位置的点，定义为 A + A，即 2A，这就是二倍运算。

同余是指有相同的余数：两个整数 a、b，若它们除以正整数 m 所得的余数相等，则称 a、b 对于模 m 同余。椭圆曲线密码学（ECC）于 1985 年由 Neal Koblitz 和 Victor Miller 分别独立提出，2004 至 2005 年开始被广泛实装应用。

Shor 算法在量子计算机上分解整数 N 的时间复杂度为 O((logN)^3)，几乎是对已知最有效经典因数分解算法的指数级加速，这种加速有可能在量子计算机上瓦解 RSA 等现代加密机制。

Shor 算法要解决的核心问题是——给定一个整数 N，找出它的质因数。即对一个给定的较大数 N，在多项式时间内确定两个素因子 p1 和 p2，满足 p1·p2 = N。

其核心在于把大数分解问题转化为「找周期」的问题：通过构造一个酉矩阵运算，最终满足 x^r = 1 (mod N)。

以 N = 15 为例的演算流程：

• 选择一个任意数字，比如 a = 2 （< 15）
• gcd(a, N) = gcd(2, 15) = 1
• 找函数 f(x) = a^x mod N 的周期，使得 f(x+r) = f(x)
• 通过量子电路图运算得到 r = 4
• gcd(a^(r/2)+1, N) = gcd(5, 15) = 5
• gcd(a^(r/2)−1, N) = gcd(3, 15) = 3
• N = 15 分解得到的质数结果为 3 和 5，分解完成

Post-quantum cryptography is classical cryptography that stands up to the attacks of a large quantum computer. It does not use any quantum properties. It doesn't need any specialized hardware. It's based on hard mathematical problems, just like the cryptography we have today. However, post-quantum cryptography avoids using integer factorization and discrete log problems to encrypt data.

后量子密码学是经典的密码学，可抵御大型量子计算机的攻击。它不使用任何量子性质，不需要任何专用硬件，基于困难的数学问题——就像我们今天拥有的密码学一样。但是，后量子密码学避免使用整数分解和离散对数问题来加密数据，因为我们已经知道这些问题很容易受到量子计算机算法的影响。

所有这些后量子密码算法都不需要任何量子硬件来加密数据，它们把加密建立在不容易受到已知量子计算攻击的新数学问题上。当然，我们必须确保它在抵御（已知的）量子计算攻击的同时，也能抵御超级计算机。

The National Institute of Standards and Technology (NIST) has published a Federal Register Notice requesting comments on a proposed process to solicit, evaluate, and standardize one or more quantum-resistant public-key cryptographic algorithms. Current algorithms are vulnerable to attacks from large-scale quantum computers.

该公告的目的是就候选算法的最低可接受要求草案、提交要求、评估标准和评估流程，向公众、密码学界、学术/研究界、制造商、标准组织以及联邦/州/地方政府组织征求意见，以便在开发新的公钥密码标准时考虑各方需求。

• 意见截止：2016 年 9 月 16 日
• 征集提案截止：2017 年 11 月 30 日
• 官方页面：nist.gov/pqcrypto

2017 年 12 月 21 日，第一轮比赛揭晓，一共有 69 个 PQC 算法参赛。核实查验 NIST 官网原文请点击：Post-Quantum Cryptography PQC · Round 1 Submissions。

2019 年 1 月 30 日，第二轮比赛时，只有 26 个算法在列，另外 43 种算法全部被破解淘汰出局，有的算法 24 小时就被其他专业团队破解。

第一轮算法若未在第二轮出现，即为淘汰。原文见：Round 2 Submissions。

2020 年 7 月 22 日，第三轮比赛开始，台上还剩 15 个算法，又有 11 个被破解淘汰出局，此时距开赛已经过去三年。

第二轮算法若未在第三轮出现，即为淘汰。原文见：Round 3 Submissions。

经过 8 年、3 轮淘汰赛，截至第三轮，数字签名类最终确定了三条技术路线：

彩虹签名由 Jintai Ding 和 Dieter Schmidt 于 2004 年发明，构筑在不平衡油醋（UOV）方案之上（UOV 发明人为 Jacques Patarin），理论基础是求解二次多项式方程组的 NP 问题，背后蕴含着代数几何学的重要数学思想。它的签名长度仅 528 字节，比其他 PQC 方案都要短小得多。

官方站点：pqcrainbow.org

白宫在 2022 年 5 月 4 日发布了第 10 号 NSM《国家安防备忘录》，要求全美国几乎所有的 IT 系统、数据系统、互联网、云系统、金融系统等都参与到抗量子密码学的迁移中。

(vii) Within 90 days of the release of the first set of NIST standards for quantum-resistant cryptography … the Secretary of Commerce, through the Director of NIST, shall release a proposed timeline for the deprecation of quantum-vulnerable cryptography in standards, with the goal of moving the maximum number of systems off quantum-vulnerable cryptography within a decade …

椭圆曲线函数数字签名 ECC 被明确归类为「易受量子攻击的算法」。NSM-10 明确了密码学从传统到后量子密码学 PQC 的迁移路线，以及 2035 年全美各机构全面迁移到抗量子密码学算法的期限。

2022 年 9 月，NSA 发布 CNSA 2.0（Commercial National Security Algorithm Suite），要求全部合作企业（浏览器、云服务、操作系统、网络设备硬件）必须升级到 PQC，并在数字签名领域推荐使用 CRYSTALS-Dilithium 取代椭圆曲线 ECC 签名。